EL PENTOMINÓ

Un pentominó (Griego πέντε / pente) es una poliforma de la clase poliominò que consiste en una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominós diferentes, que se nombran con diferentes letras del abecedario. Los pentominós obtenidos a partir de otros por simetría axial o por rotación no cuentan como un pentominó diferente.

Si se tienen en cuenta los pentominós obtenidos mediante simetría axial como pentominós diferentes tendríamos un total de 18. Los llamados T, V, I, X, U, y W forman pentominós por simetría axial a los que también se puede llegar por rotación. Esto tiene importancia en algunos juegos de ordenador, tipo tetris, en los que no se pueden girar las figuras por simetría. Al pentominó F también se lo conoce como pentominó R, en referencia al juego de la vida de conway.

Es interesante señalar las diferentes variaciones que pueden obtenerse:

• L, N, Y, P y F pueden orientarse de 8 formas: 4 por rotación, y 4 más por simetría axial.
• Z puede orientarse de 4 formas: 2 por rotación, y 2 más por simetría axial.
• T, V, U y W pueden orientarse de 4 formas por rotación.
• I puede orientarse de 2 formas por rotación.
• X sólo puede orientarse de una forma.

Por ejemplo, las 8 combinaciones de Y serían:

 ¿ QUIEN PRESENTÓ EL PENTOMINO AL 

                         MUNDO?

  

Los pentominós o 'juego de pentominós' fueron presentados al mundo matemático en 1954 por un catedrático de la Universidad del Sur de California, Solomon W. Golomb. En 1957, la revistaScientific American publicó un primer artículo sobre ellos. Desde entonces se han convertido en un pasatiempo popular, además de propiciar diversas investigaciones y resultados.

El pentominó es entonces un juego de 12 piezas que conforman gran número de acertijos del tipo de los rompecabezas. Uno de los aspectos más sorprendentes de este juego es que se pueden acomodar todas las piezas juntas de maneras inesperadas.

Quizá resulte difícil imaginar que con las 12 piezas se puede formar un rectángulo; más aún, que existe una gran variedad de formas diferentes en que las 12 piezas pueden ser acomodadas juntas.

Los recubrimientos más interesantes con pentominós son los de algunas configuraciones de tableros que pueden ser recubiertas con un solo uso de cada uno de los 12 pentominós. Evidentemente estos tableros suman 5 ^{cuadros ,} _pentómino x 12 pentominós =60 cuadros.

Los diferentes tableros rectangulares de 60 cuadros son de 1x60, 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 y 6x10.

Ademàs los pentominòs no son solo piezas de un puzzle, componen un alfabeto completo en el que están representadas todas las variaciones de cinco cuadrados adyacentes posibles.
los doce pentominos se pueden conseguir a partir de uno de ellos moviendo uno de los cinco cuadrados a otra posición en un circulo sin fin.

                                              
                            ¿ COMO SE JUEGA?       



EL juego consiste en formar con todas las piezas , rectángulos donde estas cubran toda la superficie.
los rectángulos pueden tener las siguientes dimensiones: 6x10; 5x12; 4x15 y 6x20.
una variante consiste en colocar las 12 piezas en un cuadrado de 8x8 dejando en este caso caso 4 celdas vacías.
la ultima variante se puede realizar de manera individual , intentando que las cuatro celdas que quedan vacías se distribuyan simétricamente  en el cuadro, o plantearla en forma de juego para realizar en grupo.
para jugar en este grupo se distribuyen las piezas en torno al tablero para que todos los jugadores puedan acceder a todas las pieza.
El primer jugador debe colocar una pieza en cualquier posición con la condición que toque el punto central, a continuación, los demás jugadores deberán colocar las piezas tocando un lado o un angulo de las piezas ya colocadas hasta que se coloquen todas..

Toma este link para jugar al  " pentominò": http://www.juegosdiarios.com/juegos/tetris-2.html

ACTIVIDAD DE APLICACIÓN. ( EL PENTOMONO EN LA GEOMETRÍA)

INTRODUCCIÓN:

la comprensión de la matemática de los niños resulta una tarea prioritaria dentro del quehacer docente, ya que la matemática es una herramienta fundamental en la constitución del pensamiento lógico de los niños, a través de procesos tales como la observación, la descripción, la clasificación, la seriación, la comparación. sin embargo, el camino hacia esa comprensión no es una vía sencilla de transitar, debido a que la matemática y la niñez son dos realidades complejas.

es importante que el niño construya por si mismo los conceptos matemáticos básicos y de acuerdo a sus estructuras utilice los diversos conocimientos que ha adquirido a lo largo de su desarrollo.

el desarrollo de las nociones lógico-matemáticas, es un proceso paulatino que construye el niño a partir de las experiencias que le brinda la interacción con los objetos de su entorno. esta interacción le permite crear mentalmente relaciones y comparaciones estableciendo semejanzas y diferencias de sus características para poder clasificarlos, seriarlos y compararlos.

(piaget y szeminska, 1982.) plantean que “el  pensamiento lógico matemático es construido por el niño desde su interior a partir de su interacción con el entorno... y la asociación de operaciones mediante la clasificación, inclusión, posibilitan la movilidad y reversibilidad del pensamiento, necesarias en la construcción del concepto de (número)”. pues es así como al introducirnos en la práctica de un juego, que en este caso serian las matemáticas  se adquiere cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras, ya que  estos son los ejercicios elementales de un juego en la matemática. Además el niño pone en práctica sus saberes previos para la solución o desarrollo de ciertas nociones matemáticas, así mismo relacionándolas con el entorno.

es así como con los juegos didácticos de matemáticas “ pentomino”  se puede lograr un  objetivo en la matemática en los niños que es  desarrollar el pensamiento lógico, interpretar la realidad y la comprensión de una forma de lenguaje; aunque esto sea un proceso paulatino; lo importante es que el niño no presente apatía por el conocimiento de esta área sino mas bien gusto e interés por aprender todas aquellas nociones y elementos que a esa edad se puede abarcar dentro de este amito.

como lo plantean vygotski (1966) y elkonin (1980) donde dicen que “la actividad lúdica constituye el motor del desarrollo, posibilitando la creación de zonas de desarrollo próximo. la acción lúdica partiría de deseos insatisfechos que, mediante la creación de una situación fingida, se pueden resolver. así mismo, en el juego el niño se conoce a él mismo y a los demás. el juego es una actividad fundamentalmente social”. si bien para muchos de los niños las matemáticas la ven como algo muy complejo, o también los adultos es importante que se interiorice por medio del juego como en este punto el cual el trabajo es realizado con el pentominò. Gracias a todo este tipo de material, recurso los estudiantes adquieren aprendizaje de manera significativa placentera y por medio del goce

Cabe mencionar dentro de este punto que el gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste, en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos.

OBJETIVO GENERAL


·         Aplicar el juego didáctico "pentominó" con niños de primer grado como un recurso estimulador para el pensamiento lógico-matemático, y así, aplicar las seis etapas de la enseñanza matemática planteadas por Zoltán P. Dienes.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS


·         Manipular libremente el pentominò para ir explorando las distintas posibilidades que este material ofrece.
·         Identificar en los niños el conocimiento que tienen sobre el pantomimo; así mismo que puedan hacer uso de este en el ámbito de la geometría como reconocimiento de las figuras.
·         Orientar a los maestros en formación del grado primero durante la realización de las actividades con el "pentominó"

ACTIVIDAD PRÁCTICA:

El siguiente trabajo mostrará y dará cuenta de las actividades que se llevaron a cabo con diez maestros en formación del grado primero de la institución Educativa Rafael María Giraldo del municipio de Marinilla durante la ejecución del juego didáctico “PENTOMINÓ”. De esta manera cada educando desarrolló y entregó a los maestros practicantes las actividades elaboradas durante el juego, y por lo tanto, se desarrollaron ejecutaron las seis etapas de la enseñanza de las matemáticas planteadas por Zoltan P. Dienes.

INFORME DE TRABAJO CON EL JUEGO DIDÁCTICO “PENTOMINÓ”

Fecha: 25 de mayo de 2.012

Hora: 10:00 am -10:40 am

Participantes:

·         Maestros en formación de los grados primeros: María Isabel, Manuela Castaño,  Juan Manuel Jaramillo Ceballos, Mariana Durán Rincón, Ana Sofía Castaño Giraldo, Laura Londoño Gómez, Juan Manuel, Paula Katherine Franco Marín, Ximena García y Rodrigo Domínguez.

·         Maestros acompañantes: Astrid Melissa Ríos Gaviria y Héctor Iván Guarín Gallo.

Se da inicio a la actividad práctica con el ingreso de los maestros en formacion del grado primero, se continúa con la presentación, donde cada niño con una sonrisa dijeron su nombre, resaltando que unos con mayor espontaneidad que otros. Seguidamente se entregó a cada niño una hoja para que inicialmente escribieran el nombre y la fecha. Los estudiantes desde el inicio mostraron una buena actitud, pues sonreían y compartían con sus maestros; finalizado este punto, se organizaron de tal manera que se evidenciara un círculo, así se tiró al suelo las fichas de pentominó para que los niños las observara y jugaran con ellas. Niños como Juan Manuel y Ximena tomaron fichas y empezaron a armar figuras, también decían que observaban casas, signos matemáticos y letras, algunas expresiones de los niños fueron: “yo veo una U” “esto es una L” “esta cosa tiene forma de W” “la M de mamá” “si voltiamos esta queda como N” “esto es un más (+), un menos (-) y un por (x). Así pues, cada niño tomó varias fichas y desde su imaginación e intereses armaron diversas figuras. Pasado unos minutos, Juan Manuel propuso a sus compañeros de trabajo que armaran una casa “grande y colorida”, los demás niños aceptaron y unieron las figuras.

Desde las etapas de la matemática planteadas por Zoltan P. Dienes, se evidencia que en el punto anterior, los niños hicieron un juego libre, donde sus saberes previos frente al trabajo fueron puestos en juego y el trabajo en grupo permitió obtener un buen resultado, como se evidencia en una las fotografías (reconocimiento de figuras, tamaños, formas y colores).

Continuando con la segunda etapa, reglas de juego, se le presentaron a los niños parámetros como: manipular correctamente el material tangible, respetar a los compañeros y maestros, y por último colaborar con las actividades planteadas.

A partir de esto, se dijo a los estudiantes que formaran ciertas figuras  de acuerdo a un número de fichas, los niños respondieron efectivamente, puesto que algunos desde sus concepciones formaron casas, arboles, ventanas, figuras geométricas como el cuadrado, el circulo, triangulo, y rectángulo. Así evidenciamos la tercera etapa abstracción y representación.

Para la quinta etapa Descripción de las representaciones, los aprendices describían espontáneamente que figuras habían formado, teniendo en cuenta los lados, colores y formas, por ejemplo: “esta figura tiene colores amarillos y rojos”, “yo quiero un más (+) para tapar el espacio” “yo tengo el menos (-)” “esto una C  y cabe aquí” “yo hice una casa” “nosotros formamos una ventana” “este amarillo es bonito” “yo cuento cinco lados”. De esta manera se pudo observar que los niños de acuerdo a sus conocimientos y teniendo en cuento lo que armaron con las fichas, saben describir y atribuir significado, mostrando así habilidades para el pensamiento lógico-matemático.

Como última etapa, los niños encontraron simetría a las figuras, es decir, reconocieron e identificaron cuando sobraban o faltaban fichas para presentar el trabajo final, ya que al formar el cuadrado uno de los niños dijo: “hace falta una L para completar” y otro “este cuadrado necesita de un C”. Así afirmamos, que la sexta etapa, formalización, proporcionó experiencias significativas y placenteras frente al trabajo con el PENTOMINÓ.

                         EVIDENCIAS FOTOGRÁFICAS:

PRIMERA Y SEGUNDA ETAPA.

TERCERA Y 

CUARTA ETAPA

 

QUINTA ETAPA

SEXTA ETAPA

Conclusiones:

•   La acción práctica con el pentominó, estimuló los intereses y conocimientos de cada de uno de los niños, pues ellos motivados por la cantidad de fichas, las unieron y encontraron figuras, y por ende otorgaron significado.        

• Los maestros en formación del grado primero presentan habilidades para el pensamiento lógico-matemático, puesto que reconocieron las figuras geométricas, tamaños, formas, lados y colores, así mismo, las relacionaron con objetos que hacen parte del contexto cultural, social y educativo.

• La importancia de las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de las acciones necesaria para la vida cotidiana; ya que  las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo. Con las matemáticas podemos entender el mundo que nos rodea, gracias  a operaciones abstractas y a la solución de preguntas que diariamente se genera el ser humano referente al  al mundo.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Historia de las matemáticas:

Desde los comienzos de la humanidad, la especie humana ha luchado por comprender las leyes fundamentales del mundo físico. han intentado descubrir las reglas y normas que determinan la naturaleza de los objetos que nos rodean y la relación compleja que tienen con nosotros y entre sí.

Descubrieron una disciplina, que les permitía acceder  más a cierto entendimiento sobre la realidad subyacente del mundo físico, y esa es la matemática.

en el siguiente paso se visualizarán algunas ciudades, siglos, y años por la que las matemáticas fueron evolucionando hasta el día de hoy; así mismo se hacen evidentes descubrimientos contribuciones innovaciones que diferentes ciudades, pueblos aportaron de lo que hoy podemos llamar “ el mundo de las. Matemáticas”.  Para estudiar la evolución de la matemática, un viaje a antiguas civilizaciones logró comprender el mundo matemáticamente.  y esta es la historia de las matemáticas:

LOS EGIPCIOS: innovadores asombrosos y deslumbrante su capacidades para producir nueva matemática. Revelaron el poder de las geómetras y de los números; dieron los primeros pasos hacia los descubrimientos matemáticos venideros. Crearon un conjunto de símbolos, patrones que los ayudaban a relacionar, contar ordenar el mundo que los rodeaba y con todo eso comenzó a surgir un nuevo mundo matemático.  Primeros en representar los números con signos jeroglíficos. Usaban un sistema binario, un sistema semejante a la descomposición de los números que se dan en el presente. Utilizaban su cuerpo para medir los cultivos, y hallar algunos procesos matemáticos.

LOS BABILONIAS: Dominaron gran parte de lo que hoy es Irak y Siria, se volvieron maestros en manejar y manipular  números. Interesados en resolver los problemas prácticos y relacionados con las medidas de pesos. No utilizaban potencia de 10 como los egipcios, utilizaban potencia de 60.los babilonios inventaron sistemas numéricos usando sus dedos de las manos. Realizaron el calendario babilónico basados en las fases de la luna. Utilizaron la matemática para encontrar soluciones a dichos problemas.  El conocimiento sobre las matemáticas babilónicas se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desde 1850-2500 A.C. los babilonias escribieron tablas de multiplicar en tablitas de arcilla y así realizaban ejercicios matemáticos. Las tablillas de arcilla  desde 1800 al 1.600 A.C incluyen algebra, ecuaciones cuadráticas cubicas. Las matemáticas babilónicas, fueron escritas usando un sistema de numeración (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 6+0 segundos y una hora en 60 minutos. El cual  que utilizaban no sólo los 5 dedos de una mano sino también las 12 falanges de la otra, que multiplicados era igual a 60. Este número, tiene una gran facilidad para ser dividido, porque especialmente se ajustaba a lo que necesitaban medir.

A diferencia de los Egipcios Griegos y Romanos, los babilonios tenían un sistema de numeración donde los dígitos escritos  a la izquierda representaban valores  de orden superior como en nuestro actual sistema de numeración.

GRIEGOS: Dentro de esta ciudad se resalta a Pitágoras como uno que planteaba la relación existente entre el triangulo rectángulo. La suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto en un triangulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Pitágoras descubrió experimentando con un instrumento de acuerdo a los intervalos entre las notas musicales armoniosas, siempre eran representadas por proporciones de números enteros y había podido construir su teoría de esta manera.

Platón 387 A.C fue uno de los benefactores más importantes  de la matemática, la visión pitagórica del mundo capturo a platón y declaró a la matemática la base del conocimiento. Revelaba que la geometría era la clave para revelar los secretos del universo.

Arquímedes: calcular el volumen de los objetos sólidos era lo más bueno para él. Estudió los polígonos y sólidos, de manera que descubrió que haciendo aproximaciones podía llegar a la exactitud.

La enseñanza de la matemática se plantea de acuerdo a los conceptos estructurados por estos personajes.

LA CHINA: 220 A.C. construcción de la muralla China pues se vieron en la necesidad de medir, calcular distancias, ángulos, cantidades;   la matemática contaba con un sistema numérico simple. No tenían el concepto del número cero; la ausencia de este número no impidió que hicieran grandes avances en el área de las matemáticas. Eras fascinante por los números. Fueron los chinos quienes desarrollaron los primeros indicios de ecuaciones, desde su cotidianidad, como un elemento muy útil y significativo. 2.800 A.C los chinos creen en el poder místico de los números.

LOS INDIOS: A mediados del siglo III D.C los indios habían descubierto los beneficios de la matemática decimal las decenas y las centenas. Se considera que el sistema indio para contar es una de las mayores innovaciones intelectuales de todos los tiempos. Presentaron el cero al mundo; los chinos, los mesopotámicos, los egipcios no le encontraban ninguna utilidad al número cero. Por lo tanto los indios convirtieron el cero como un número para cálculo de investigación.

Siglo VII Bramaguta, demostró propiedades esenciales de este número decía que 1+1=1, 1-0=1, y 1x0=0. Seguido de esto  Bhaskara segundo del siglo XII, planteo la propiedad de la división gracias a un experimento realizado. Los indios pensaban los números como entidades abstractas.

Los indios fueron innovadores en el área de la trigonometría.

LOS ISLÁMICOS: Bajo la dirección de al-Juarismi, quien hoy es reconocido por haber escrito el algebra, se retomó el sistema numérico indio, y se crea un nuevo código matemático que es un lenguaje que explica las normas de comportamiento en los números. Hicieron ciertas aseveraciones acerca de algunas reglas bajo las que se comportan los números, llevándolas a crear una fórmula para resolver cualquier ecuación cuadrática. El reto ahora estaba en crear, asimismo, una fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, reto que pudo ser develado solo en parte por un poeta y matemático persa llamado Omar Jayyam, quien realizó algunas de estas ecuaciones, pero quien se vio limitado por tener una mentalidad muy ligada a la geometría. Grande fue el aporte de este imperio, que mediante su intelecto y abstracción logró descifrar gran parte de las reglas que siguen los números.

OCCIDENTE Y EDAD MEDIA: Durante la Edad Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los números, lleva al uso corriente de los números irracionales  una costumbre que es luego transmitida a Europa.

Europa tuvo todos los elementos que habían dejado las culturas orientales, fue así como se abrieron las puertas la gran revolución matemática que en occidente tendría lugar.

Piero della francesca, fue un pintor y matemático publicó sus ideas radicales, en las que creaba una estructura común entre la geometría y el algebra. Dijo que la posición de un punto en dos dimensiones podía describirse en un plano (plano cartesiano), con dos números, y que la trayectoria de este en círculo, podía describirse con una ecuación. Llego a usar el algebra con cifras exponenciales mayores a tres, cosa que no se había hecho por no existir más que esas dimensiones, pero que es fundamental hoy.
Isaac Newton una teoría de la luz, descubrió la ley de la gravedad y desarrollo el cálculo. János Bolyai instauró el concepto de geometría imaginaria, en la que se utilizan líneas parábolas para que la suma de los ángulos de un triángulo dé menos de 180º.                 

Georg Cantor Sugirió que existían muchos conjuntos de infinitos, y que unos son más grandes que otros, Uno de quienes admiraron la concepción de infinito de Cantor, fue Henri Poicaré, quien en medio de su lucidez pudo desarrollar una gran variedad de técnicas matemáticas en su búsqueda de una solución sobre la gravedad en el sistema solar.

Hilbert Demostró además que se pueden clasificar las ecuaciones de modo que constituyan un conjunto finito.

Kurt Goedel Descubrió el teorema que se llama de incompletitud, donde probó que dentro de cualquier sistema de lógica matemática habrá proposiciones respecto de los números que serán verdaderas, pero no demostrables.